Около 10 лет назад, я доказал теорему, которая известна под названием большой теоремой Ферма.
Недавно, по случаю, я в Интернете упомянул об этом. Конечно попросили меня представить
доказательство. Несколько дней подряд я к своему удивлению не мог вспомнить доказательство,
и даже близко не подошел к нему, а записей не сохранилось, кроме листка с одной формулой,
которая уже являлась результатом.
И надо сказать это очень удивило меня. Однако, я точно помнил, что доказательство построено
на том, что при выводе получалось иррациональное выражение, помня об этом, я пришел к еще более
простому выводу, и надо сказать, что Ферма именно этот вывод имел в виду,
говоря что он удивительный (тем более, что раздумывал он в это время над решением
геометрических задач).
Вот краткая предыстория…
А далее вывод:
Доказать надо следующее, нет целочисленных a,b,c, для которых выполняется формула -
(1)
при "n" больше 2.
Изобразим треугольник, который соответствует этому выражению, рисунок 1.
Такой треугольник остроугольный, то есть каждый угол, при пересечении двух сторон острый,
это свойство выполняется для всякого произвольного треугольника,
который соответствует формуле (1).
Положим, что сторона "c" у нас задана некоторым числом, а стороны "a", и "b", меняются.
Нам достаточно доказать, что при целой "c", нет двух целых "a", и "b".
Мы нарисуем несколько треугольников, соответствующих установленными нами условиями,
- рисунок 2(масштаб не соблюден)
Мы можем нарисовать бесчисленное число треугольников, основанием которых служит сторона "c",
и которые удовлетворяют условию. При этом геометрическим местом вершин таких треугольников
будет служить кривая, похожая на эллипс.
На рисунке 2 показаны три треугольника.
Мы можем построить на основании "С" два треугольника, таким образом,
что один повернут на 180 градусов, по отношению к другому.
Рисунок 3
И рассмотрев, эту фигуру, мы видим, что у нас получился параллелограмм ,
Стороны В, и В, стороны А, и А, взаимно параллельны, соответствующие углы равны.
Равны и стороны А=А, В=В.
В этом параллелограмме есть две диагонали, диагональ "С", и диагональ "D".
Все множество решений нашего уравнения будет находится в области,
которая ограничена углом поворота диагонали "D",
по отношению к диагонали "С", от 0, до 90 градусов.
И вершины нашего параллелограмма при этом скользят по некоторой кривой, с видом эллипса.
Таким образом, мы приходим к выводу, что для двух одинаковых и сложенных зеркальным образом
треугольников, подчиняющихся уравнению
действительны формулы параллелограмма.
А именно -
где "С", и "D" - диагонали параллелограмма,
а "a" и "b", стороны его.
Исходя из нашей установки, то есть сторона "С" задана постоянной, и для нее происходит
поиск переменных "a", и "b", таких, чтобы выполнялось уравнение
мы видим, что изменяются стороны при изменении диагонали "D". То есть мы можем проследить,
как меняется сумма квадратов сторон -
в параллелограмме,
поэтому мы зададим границы изменения диагонали "D", и считаем
что достаточно рассмотреть изменение суммы. Построим ромб, в котором выполняются
и формулы параллелограмма, зададим границы изменения диагонали "D", и будем иметь в виду,
что стороны нашего ромба не тождественны сторонам треугольника,
соответствующего условию
но сумма сторон
одинакова, так как основание "С" задано постоянным,
а диагональ "D" имеет то же самое значение,
которое она имеет и в исходном треугольнике.
Рисунок 4
Рисунок 5
То есть, мы получаем ромб, который имеет такие же диагонали, как и у параллелограмма,
полученного сложением двух исходных треугольников, отвечающих формуле
Определяем границы изменения D, в исходном случае, при С постоянной, а переменных "a", "b".
Рисунок 6
На рисунке 6, слева нарисованы треугольники, соответствующие исходной формуле,
но с разными сторонами "a" , и "b".
С правой стороны рисунка 6, нарисованы преобразованные треугольники, в которых 2 стороны равны,
но С = с, и высота треугольника, изображенного справа, равна медиане треугольника,
изображенного слева. Что соответствует равенству диагоналей параллелограмма и ромба,
что наглядно видно из рисунка 5.
Для параллелограмма и ромба справедлива формула -
А значит,
выполняется равенство
так как диагонали обоих фигур равны.
Здесь "A" и "B" - стороны ромба, "a" и "b" - стороны треугольника,
соответствующего исходной формуле(1). Очевидно, что величина диагонали D,
изменяется в пределах от максимального значения, при равенстве a , и b ,
и минимального значения - при равенстве D=C.
Стороны треугольника "1", на рисунке 6 подчиняются зависимости
где с - основание,
а , b - стороны.
При равенстве диагоналей, что соответствует треугольнику, который ниже "3",
и вершина которого находится на окружности, стороны находятся в зависимости
так как треугольник прямоугольный, и С его гипотенуза (рисунок 6 справа).
Если С задано постоянной, и стороны треугольника равны, то высота треугольника
зависит от степени, в которую возведено это выражение.
То есть , не соблюдая пропорций, мы можем сказать, что треугольнику "3",
соответствует выражение например
треугольнику "2",
и так далее, до нашей заданной степени "n",
при этом треугольник самый высокий.
Значит, при преобразовании треугольника заданного формулой (1),
в равнобедренный треугольник степень изменяется(уменьшается),
если задавать значения сторон в виде
то есть, наш треугольник вида
при таком преобразовании превращается в треугольник вида
при этом "m" меньше "n".
Но для дальнейших доказательств это не важно.
Рассматривая преобразованный треугольник, в котором стороны равны
отсюда
рисунок 4.
имеем:
где h- высота этого преобразованного
равнобедренного треугольника.
То есть
исходя из условия,
или иначе
.
Исходя из формулы
выводим
то есть диагонали D и С, взаимно иррациональны,
то есть для нами заданных условий -
одна из диагоналей
параллелограмма будет рациональное число, другая иррациональное,
так как диагонали исходного параллелограмма и
диагонали рассматриваемого ромба равны.
Но подставив это выражение в формулу для параллелограмма,
мы получим
то есть сумма квадратов сторон параллелограмма -
иррациональное число, и оно будет иррациональным, при всех n больших 2.
Значит не существует тройки целых чисел, соответствующих уравнению
при n больше 2.
Но для полноты доказательства необходимо рассмотреть случай,
при котором степень "m" иррациональное число, такого вида,
при котором
рациональное число, например
и тогда наше
и не очевидна иррациональность выражения.
Преобразуем формулу
перенесем , и извлечем квадратный корень,
Мы разбираем вариант, при котором
- рациональное число,
потому,
что "m" иррациональна, но при этом очевидна новая иррациональная величина
так как С - целое число, то выражение
должно содержать одним из множителей
иррациональность вида
иначе С иррациональное число,
но при возведении
в квадрат мы получаем сумму квадратов
сторон,
и при этом иррациональность, входящая в выражение -
превращается в 2,
то есть сумма квадратов сторон треугольника четное число, значит обе стороны или четные,
или нечетные. По основным подходам к доказательству теоремы, доказано, что величины "a" и "b",
должны быть взаимно простыми и одна из величин четная, другая нечетная.
А четность суммы квадратов противоречит этому условию, значит двух целых "a" и "b",
в этом случае так же не существует, при целочисленном значении С.
Теорема доказана.
Ущеко Вячеслав 1 Марта 2004 года
Исправлено и дополнено 4 Марта 2004 года
ДОПОЛНЕНИЕ
Замечу, что данная формула не была рассмотрена полностью.
Из нее вытекает, что либо диагонали параллелограмма взаимно иррациональны, и значит сумма квадратов чисел «а», и «в», есть иррациональность, что и означает, отсутствие решения в целых числах. Либо сама степень «m», есть какое то иррациональное, и не целое число, что противоречит условиям задачи, где степень должна быть целым числом.
Данное отношение становится рациональным только при степени m=2.
Значит при показателе степени, равным 2, - решения в целых числах существуют, при степенях целых, больших 2, - этих решений нет.
Это не просто доказательство утверждения Ферма, - это уравнение, показывает связь величины диагоналей в параллелограмме, построенном по правилам –
То есть, дальнейшего рассмотрения различных вариантов не требовалось совсем.
